dumpを取りたいとき、lock tables 権限がない場合 --skip-lock-tablesをコマンドに記載すると、where句の条件が反映されません。
DBの形式がInnoDBであればsingle-transactionを利用すれば大丈夫だと思いますが、これで出来ない場合は無理なので権限をもらうか、権限をもっているユーザーにやってもらいましょう。
下記のコマンドは指定した条件のダンプを作成し、それをdump.sqlファイルとして出力しています。
/usr/local/mysql/bin/mysqldump --single-transaction -u user-name -ppassword -h test-dbname db-schema table_name --where "update_time < '2016-01-01'" > dump.sql
